Divisions euclidiennes par 13 - Corrigé

Énoncé

Le reste dans la division euclidienne de \(a\) par \(13\) est \(9\) ; le reste dans la division euclidienne de \(b\) par \(13\) est \(12\) .

1. Déterminer le reste dans la division euclidienne par \(13\) de \(a+b\) .

2. Déterminer le reste dans la division euclidienne par \(13\) de \(a-b\) .

Solution

1. D'après l'énoncé, on a : \(a=13q+9\) et \(b=13q'+12\) avec \(q\) , \(q' \in \mathbb{Z}\) .
On a alors : 
  \(\begin{align*}a+b& =13q+9+13q'+12\\ & =13q+13q'+21\\ & =13q+13q'+13+8\\ & =13(q+q'+1)+8\end{align*}\)  
avec \(0 \leqslant 8<13\) , donc le reste dans la division euclidienne de \(a+b\) par \(13\) vaut \(8\) .

2. D'après l'énoncé,   on a : \(a=13q+9\) et \(b=13q'+12\) avec \(q\) , \(q' \in \mathbb{Z}\) .
On a alors :
  \(\begin{align*}a-b& =13q+9-(13q'+12)\\ & =13q+9-13q'-12\\ & =13q-13q'-3\\ & =13q-13q'-13+10\\ & =13(q-q'-1)+10\end{align*}\)   
avec \(0 \leqslant 10<13\) , donc le reste dans la division euclidienne de \(a-b\) par \(13\) vaut \(10\) .